主页 > D最生活 >微积分初阶—历史发展的眼光(10)极限、无穷小量与连续函数( >


微积分初阶—历史发展的眼光(10)极限、无穷小量与连续函数(


2020-07-09


连结:微积分初阶-历史发展的眼光(9)莱布尼兹从差和分连续化得到微积分

甲、极限

极限概念是用来从「有涯」飞跃到「无涯」的工具。对于它,我们採取直观的了解,因为这差不多是人类的良知良能。但是极限的严格定义,即函数的极限之 $$\varepsilon-\delta$$ 定式以及数列的极限之 $${\varepsilon}-N$$ 定式,对初学者来说又是一件艰难的事情,跟无穷小量不相上下。总之,要征服「无穷步骤」,不论是採用「无穷小量的论述法」或「极限的论述法」都会有基本上的困难。

因为无穷小量虽然好用,但是其逻辑基础比极限更深奥,所以传统的微积分教科书都选择建立在极限概念上面。

牛顿与莱布尼兹约在1680年发明微积分,经过200年,极限的严格定义与实数系 $$\mathbb{R}$$ 的建构才完成(约在1880年左右),从此微积分的基础奠定,其间大家都採用直观的「无穷小量的论述法」或「极限的论述法」来讲述微积分。

无穷小量的逻辑基础一直要等到1960年代才完成。其后有人尝试用「无穷小量的论述法」写微积分教科书,但是都没能流行。

在微积分中,极限分成数列的极限 $$\lim_{n\to\infty}a_n$$ 与函数的极限 $$\lim_{x\to c}f(x)$$。我们与例子来说明。

【例5】「一尺之棰,日取其半,万世不竭」。

第 $$n$$ 天剩下的量为 $$a_n=\frac{1}{2^n}$$。所谓「万世不竭」是指

$$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n}>0,~~~\forall{n}\in{\mathbb{N}}$$

但是数列($$a_n$$)以 $$0$$ 为极限:$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$ 这是直观明显的。

【习题5】求下列数列的极限:

    $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-3^n}{3^n}$$$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$$假设数列 $$(a_n)$$ 定义为:$$a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=\frac{2a_{n+1}+a_n}{3},n=1,2,3,\mbox{…}$$。
    求极限 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$$

【例6】求函数的极限:$$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2-2x+2}{x^2-3x+2}$$

【解答】$$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-x^2-2x+2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2}{x-2}=1$$

【注意】在上述演算中,我们用到「$$x\longrightarrow{1}$$」的性质:$$x$$ 可跟 $$1$$ 任意靠近,但不等于 $$1$$。读者应该可以感受到这是「无穷小量」的精神潜藏于里面吧。

【例7】求函数的极限:$$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-2^2}{x-2}$$。
这就是求函数 $$y=f(x)=x^2$$ 在 $$x=2$$ 点的切线斜率,所引出的极限。

【解答】$$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$$

【例8】求函数的极限:$$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2+1})$$。

【解答】$$\begin{array}{ll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2+1})&\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1)}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\&\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\\&=0\end{array}$$

【习题6】求下列函数的极限:

    $$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$$$\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^3+3x^2-2}{x^2-x-2}$$$$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{5x-1}-\sqrt{4x+1}}$$

乙、无穷小量(infinitesimal)

「无穷小量」是:要多小就有多小,但又不等于 $$0$$。换言之,它可以跟 $$0$$ 任意接近,但是不能碰触到 $$0$$。在实数系中,这是一个矛盾的!许多人无法接受这个矛盾,而排斥「无穷小量」。

因为一个实数,若具有「要多小就有多小」的性质,那幺它必为 $$0$$。因此,无穷小不是一个实数,它彷彿是活生生的小精灵(demon),它生存在「无何有之乡」,具有超能力,可以帮忙建造出微积分。

我们可以这样来观照「无穷小量」:给一个线段,这是「有」,想像它慢慢缩短(一直都是「有」),最终消失是「无」。在从「有」到要消失为「无」,但还未消失的那一剎那,就是「无穷小量」。

因此,「无穷小量」是介于有与无之间,似有实无,似无又有,不有也不无,是有也是无。超越有无,又包含有无。越说就越有「禅味」了。

莱布尼兹其实是利用「无穷小量」的精灵,且赋予优秀记号 $$dx$$ 与 $$dy$$,以创立微积分:

【例9】设 $$y=F(x)=x^4$$,那幺 $$Dx^4=4x^3$$。

它的微分演算如下:

$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^4-x^4}{dx}$$

$$\displaystyle=\frac{[x^4+4x^3dx+6x^2(dx)^2+4x(dx)^3+(dx)^4]-x^4}{dx}$$ (以上用到 $$dx\neq{0}$$)

$$=4x^3+6x^2(dx)+6x(dx)^2+(dx)^3=4x^3+[6x^2+6x(dx)+(dx)^2]dx$$

$$=4x^3$$(最后用到 $$dx$$「要多小就有多小」,故含有它的项,弃之可也!)

其次,莱布尼兹的定积分的记号 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 本身也是善用无穷小量,它的意思是说:无穷多个无穷小量 $$f(x)dx$$(有限量 $$f(x)$$ 乘以无穷小量 $$dx$$ 仍是无穷小量),从 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 连续地求和,即积分。

【例10】因为 $$D(x^4/4)=x^3$$,所以根据微积分根本定理就有:

$$\displaystyle{\int}_2^5{x}^3dx=\frac{1}{4}(5^4-2^4)=\frac{609}{4}$$ 与 $$\displaystyle{\int}_a^b{x}^3dx=\frac{1}{4}(b^4-a^4)$$

丙、连续函数

连续函数是微积分最重要的一类函数,是微积分的主角。基本上,积分的对象是连续函数,而微分的对象是更局限的可微分函数,因为可微分必为连续,反之则不然。

直观地说,所谓一个连续函数是指函数图形是连绵不断的,没有缺口的、没有断裂的。例如:

微积分初阶—历史发展的眼光(10)极限、无穷小量与连续函数(

【定义1】(连续函数)

设 $$f$$ 为一个函数,如果下列各个条件皆成立,则称 $$f$$ 在 $$x_0$$ 点连续(continuous at $$x_0$$):

否则称 $$f$$ 在 $$x_0$$ 点不连续(discontinuous at $$x_0$$)。如果 $$f$$ 在定义域中的每一点都连续,则称 $$f$$ 为一个连续函数。如果定义域有端点,那幺在端点概指左连续或右连续。

【定理5】多项函数、三角有理函数、三角函数、指数函数与对数函数在各自的定义域上皆为连续函数。

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(11)微分与积分的定义

参考文献:

上一篇:
下一篇: