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微积分初阶-历史发展的眼光(8)牛顿由运动现象的研究揭开微积


2020-07-09


连结:微积分初阶-历史发展的眼光(7)牛顿读费玛的着作精炼出微分法

运动现象的研究是牛顿关切的核心问题,从而揭开微积分之谜。下面我们就利用高速公路上的车子之运动来解说这一切。

台湾的高速公路从基隆到高雄、屏东,是歪七扭八的,但是我们可以想像把它拉直(作个想像的实验!)得到一条直线。再将直线上每一点都赋予一个笛卡儿坐标,使得两点的坐标差就代长了高速公路上相应两个地点之间的里程(距离)。这是真实的高速公路的抽象化、理想化或模型。

【注】此地坐标原点并不重要,可以任意选定,直正重要的是两点的坐标之差。

好了,现在想像车子为一个质点(这又是一种理想化)在此直线上运动。车上有两个仪器:一个是速度表(speedometer),其实是速率表;另一个是里程表(odometer)。

我在 $$t_0$$ 时刻恰好在高速公路上的某一位置,例如泰山收费站,我看到里程表上显示着 $$83423$$,记此数为 $$x(t_0)$$,并称为这个位置的坐标为 $$x(t_0)$$,其余类推。这样直线就赋予坐标,而得到一个坐标轴,于是在任何时刻 $$t$$,车子的位置就可以由里程表读得 $$x(t)$$,并且得到时刻 $$t$$ 与里程表的读数 $$x(t)$$ 之间的对应关係:

$$t\longrightarrow x(t)$$

这是一个函数,记为 $$x=x(t)$$,其中 $$x$$ 随着 $$t$$ 的变动而变动。函数 $$x=x(t)$$ 可以完全地描述车子的位置,故又叫做位置函数

如果我的车子是全电脑设备,就可以图解出 $$x$$ 与 $$t$$ 的关係,例如:

微积分初阶-历史发展的眼光(8)牛顿由运动现象的研究揭开微积

甲、速度与微分

由里程表我们可读得位置函数 $$x=x(t)$$,即知道任何时刻 $$t$$ 车子的位置(坐标)。光是这样,对于运动的了解还是不够的。实际上,车子是时快时慢的,我们希望知道这快慢的详细情形。换句话说,我们要知道速度函数 $$v=v(t)$$。

【问题3】(求切问题)
已知位置函数 $$x=x(t)$$,如何描述车子的速度函数 $$v=v(t)$$?

也许你会说,这还不简单,只要读车子的速度表就知道了。这是对的。不巧的是,如果我的速度表坏了,怎幺办?我能够知道时刻 $$t=9$$ 的速度 $$v(9)$$ 吗?

我请朋友坐在旁边,帮忙记录里程表上面的数字:在 $$t_0$$ 时刻得到 $$x(t_0)$$,在 $$t_1$$ 时刻得到 $$x(t_1)$$,作计算 $$\frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}$$ 就得到车子在 $$t_0$$ 到 $$t_1$$ 这一时段的平均速度(距离÷时间=平均速度)。

今考虑车子在 $$t=9$$ 的瞬间速度。令时间的变化量为 $$\Delta{t}$$,而相应里程的变化量为 $$\Delta{x}=x(9+\Delta{t})-x(9)$$,从而平均速度为 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$。

现在让 $$\Delta{t}$$ 足够小,则 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 与 $$v(9)$$ 的差别也会很小;乃至让 $$\Delta{t}$$ 越来越小,那幺 $$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 也会越来越趋近于一个数,这个数就是 $$v(9)$$,表示我的车子在时刻 $$t=9$$ 的瞬间速度,简称为 $$t=9$$ 的速度

我们把这件事记为 $$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(9)$$

或者 $$\displaystyle \lim_{t\to 9}\frac{x(t)-x(9)}{t-9}=v(9)$$

此地 $$\lim$$ 是英文 limit(极限)这个字的缩写。

式子 $$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(9)$$ 表示当 $$\Delta{t}$$ 趋近于 $$0$$ 时,$$\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$ 就趋近于 $$v(9)$$ 的意思。

【注】$$\Delta$$ 是希腊字母,读成delta,这是指「差」(difference)之意。

一般而言,对任何时刻 $$t$$,$$\frac{x(t+\Delta{t}-x(t))}{\Delta{t}}$$ 称为在时刻 $$t$$ 与 $$t+\Delta{t}$$ 之间的平均速度。(注意:$$\Delta{t}$$ 可大于$$0$$,也可小于 $$0$$。)当 $$\Delta{t}$$ 趋近于 $$0$$ 时,如果$$\frac{x(t+\Delta{t}-x(t))}{\Delta{t}}$$ 会趋近于某个数,则称此数为 $$t$$ 时刻车子的速度,记为

$$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=v(t)=Dx(t)=x'(t)$$

由此我们得到一个新的函数 $$v=v(t)$$ 叫做车子的速度函数

从位置函数 $$x=x(t)$$ 经由上述的程度得到速度函数 $$v=v(t)$$ 就叫做微分(或导微),记为 $$v(t)=Dx(t)$$。

对于速度函数 $$v=v(t)$$ 我们再作一次如同上述的操作,就得到加速度函数 $$a=a(t)$$:

$$\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=a(t)=Dv(t)=v'(t)$$

总之,里程表提供给我们位置函数 $$x=x(t)$$,利用微分法就可求得速度函数 $$v=v(t)$$。事实上,这就是先前介绍过的求切线斜率,本质上完全相同。

乙、里程与积分

现在我们考虑另一个问题,假设我的车子之里程表坏了,只剩下速度表可用。

【问题4】(反求切问题)
已知速度函数 $$v=v(t)$$,那幺从时刻 $$t=a$$ 至 $$t=b$$,我的车子走了多少里程?

我们把闭区间 $$[a,b]$$ 分割成 $$n$$ 小段:

$$a=t_1

从 $$t_1=a$$ 到 $$t_2$$ 是一段,$$t_2$$ 到 $$t_3$$ 是一段,$$\mbox{…}$$,$$t_k$$ 到 $$t_{k+1}$$ 是一段,$$\mbox{…}$$,$$t_n$$到$$t_{n+1}=b$$ 是一段。分段最好是分得够多,每段不太长,则每一小段的速度变化不太大。对于从 $$t_k$$ 到 $$t_{k+1}$$ 这一小段,它的长度记为 $$\Delta{t_k}=t_{k+1}-t_k$$,在某一瞬间 $$c_k\in[x_k,x_{k+1}]$$,我瞄一下速度表,知道当时速度为 $$v(c_k)$$,于是在此段时间内大约走了 $$v(c_k)\cdot{\Delta{t_k}}$$ 的里程,所以全部里程大约是

$$\displaystyle \sum^n_{k=1}v(c_k)\cdot\Delta t_k\equiv v(c_1)\cdot\Delta t_1+v(c_2)\cdot\Delta t_2+\cdots+v(c_n)\cdot\Delta t_n$$

这个大约值与我怎幺「分割成小段,随意瞄眼查速」有关係,但是,只要分得够细,而且速度函数 $$v=v(t)$$ 很好(例如连续),就不会太离谱。当然,正确的答案就必须求极限了。我们把这个极限记成:

$$\displaystyle\int^b_av(t)dt=\lim\sum^n_{k=1}v(c_k)\cdot \Delta t_k~~~~~~~~~(3)$$

这就是前面所讲过的定积分之定义。

丙、微分与积分的关係:微积分学根本定理

我们说过,由位置函数 $$x=x(t)$$,经由微分就得到速度函数 $$v=v(t)=Dx(t)$$。反过来,对速度函数 $$v=v(t)$$ 作积分 $${\int}_a^b{v}(t)dt$$ 就得到车子从时刻 $$a$$ 到时刻 $$b$$ 所走的里程。

另一方面,这个里程也可以从里程表读出来,就是 $$x(b)-x(a)$$。换言之,我们有下面的重要结果:

$$\displaystyle\int^b_av(t)dt=x(b)-x(a)~~~~~~~~~(4)$$

这就是微积分根本定理(the fundamental theorem of Calculus)的内容,$$(4)$$ 式又叫做 Newton-Leibniz 公式(简称N-L公式),这是微积分中最最重要的一个公式。

【定理2】(微积分根本定理)

如果 $$DF(x)=f(x),\forall{x}\in[a,b]$$,则有

$$\displaystyle\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)~~~~~~~~~(5)$$

总之,牛顿对于运动现象(力学)的研究,得到微分与积分,更看出微积分根本定理,从而发明微积分,而微积分的发展又促使力学的研究一日千里,这是相辅相成的。数学和物理学的密切关连是天经地义的。微积分促成牛顿力学、万有引力定律的诞生,终于导致十七世纪的科学革命。

【例3】设 $$n$$ 为一个自然数,因为 $$D(\frac{1}{n+1}x^{n+1})=x^n$$,所以由 N-L 公式得到

$$\displaystyle \int^b_a x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\Big|^b_a=\frac{1}{n+1}(b^{n+1}-a^{n+1})~~~~~~~~~(6)$$

特别地我们有

$$\displaystyle \int^b_0 x^ndx=\frac{1}{n+1}b^{n+1},~~~\forall n=1,2,3,…~~~~~~~~~(7)$$

以及 $$\displaystyle\int^1_0 x^2dx=\frac{1}{3}~~~~~~~~~(8)$$

【注】$$(8)$$ 式就是阿基米德公式,$$(7)$$ 式是 $$1660$$ 年左右由费玛、Pascal 以及 Roberval 等人,用各种巧妙方法算出来的,而且都是各案解决。比较起来,N-L公式是一种普遍的系统解法,这才真正符合数学家追求「万人敌」的普遍方法。

丁、微积分的简单图解

微积分初阶-历史发展的眼光(8)牛顿由运动现象的研究揭开微积

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(9)莱布尼兹从差和分连续化得到微积分

参考文献:

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