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微积分初阶-历史发展的眼光(11)微分与积分的定义(Firs


2020-07-09


连结:微积分初阶—历史发展的眼光(10)极限、无穷小量与连续函数

甲、微分

採用极限的论述法来定义导数就是:

【定义2】(导数定义的四部曲)

给一个函数 $$y=F(x)$$,我们按下列四个步骤操作:

$$(\mathrm{i})$$ 分割:让独立变数 $$x$$ 变化 $$\Delta{x}$$ (可正也可负)$$(\mathrm{ii})$$ 求差:对应的应变数 $$y$$ 就变化 $$\Delta{y}\equiv\Delta{F(x)}\equiv{F(x+\Delta{x}-F(x)}$$$$(\mathrm{iii})$$ 求牛顿商:$$\Delta{y}/\Delta{x}$$$$(\mathrm{iv})$$ 取极限:$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$

如果这个极限值存在,就称函数 $$F$$ 在 $$x$$ 点为可微分(differentiable)。记此极限值为 $$DF(x)$$ 或 $$\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$,并且称为 $$F$$ 在 $$x$$ 点的导数(derivative)。如果函数 $$F$$ 在定义域的每一点都可微分,那幺我们就称 $$F$$ 为一个可微分函数(a differentiable function)。导数的几何意义就是「切线的斜率」。

【注】利用极限来计算导数,常见的变形有:

$$\displaystyle DF(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{u\to x}\frac{F(u)-F(x)}{u-x}$$

採用无穷小量的论述法来定义的导数就是:

【定义3】(导数的定义)

$$\displaystyle DF(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}$$

但在做实际计算时,要注意:先是 $$dx\neq{0}$$,然后又 $$dx=0$$ 的规则。

【例11】设 $$F(x)=x^2$$,求 $$DF(x)$$。
【解答】

$$(\mathrm{i})$$ 无穷小量的论述法:

$$\displaystyle DF(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx=2x$$
或 $$dF(x)=F(x+dx)-F(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=2xdx$$
$$(18)$$

上述的演算规则是:当一个有限量 $$DF(x)$$ 是由一个有限量 $$2x$$ 加上一个无穷小量 $$dx$$ 时,是加之不增的,故 $$2x+dx=2x$$,亦即 $$dx$$ 弃之可也。其次,当一个无穷小量 $$dF(x)$$ 是由一个无穷小量 $$2xdx$$ 加上一个更高阶的无穷小量 $$(dx)^2$$ 时,后者弃之可也。

$$(\mathrm{ii})$$ 极限的论述法:

$$\begin{array}{ll}DF(x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x~~~~~~~~~(19)\end{array}$$

许多人无法接受无穷小量的论述法,而喜欢极限的论述法。其实,我们看出这两种论述法是殊途同归,而且比较 $$(18)$$ 与 $$(19)$$ 两式就知每一步都有互相的对照。在禅宗里,有「北渐南顿」之分,仿此我们就说:极限的论述法是「渐悟派」,透过极限操作以有涯逐无涯;无穷小量的论述法是「顿悟派」,直接飞跃到无涯彼岸,请出无穷小量,帮忙完成微分。

【例12】给一个单位正方形,在四个角上都截去相同的小正方形,将剩余部份折成一个没有盖子的长方体容器。欲使其容积为最大,求截去小正方形的边长。

微积分初阶-历史发展的眼光(11)微分与积分的定义(Firs

【解答】假设截去小正方形的边长为 $$x$$,则长方体容器的容积为

$$V(x)=x(1-2x)^2=4x^3-4x^2+x$$

微分(参见例4)得到

$$V'(x)=12x^2-8x+1$$

解方程式 $$V'(x)=12x^2-8x+1=0$$,即解 $$(2x-1)(6x-1)=0$$,得到

$$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ 或 $$\displaystyle x=\frac{1}{6}$$

其中 $$x=1/2$$ 不合,因为整个正方形都被截光。因此 $$x=\frac{1}{6}$$ 就是所求的答案。

【习题7】在半径为 $$1$$ 的球面里,内接一个正圆锥使其体积为最大。试求此正圆锥的底半径与高。

乙、定积分

【定义4】(积分定义的四部曲)

给一个函数 $$y=f(x)$$,我们按下列四个步骤操作:

$$(\mathrm{i})$$ 分割:$$a=x_1如果极限 $$\displaystyle\lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)$$ 存在,且跟分割与样本点的取法无关,则称函数 $$f$$ 在闭区间 $$[a,b]$$ 上为可积分(intergrable),记此极限值为 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$。

【注解】

【定理6】若函数 $$y=f(x)$$ 在闭区间 $$[a,b]$$ 上连续,则定积分 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 存在。

连结:微积分初阶-历史发展的眼光(12)微积分学根本定理

参考文献:

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